Bilangan-bilangan 1, 2, …, 9 akan ditempatkan ke dalam papan catur berukuran 3×3. Mungkinkah bilangan-bilangan ini ditempatkan sehingga setiap dua persegi yang bertetangga baik secara vertikal ataupun horizontal, jumlah dari dua bilangan yang ada di dalamnya selalu prima?

Misalkan m,n bilangan asli sehingga sistem persamaan

Diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar CD dan AB < CD. Misalkan diagonal AC dan BD bertemu di E dan misalkan garis AD dan BC bertemu di titik F. Bangun jajar genjang AEDK dan BECL. Buktikan bahwa garis EF melalui titik tengah segmen KL.

Tentukan semua polinom dengan koefisien bulat  sehingga untuk setiap bilangan asli  yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, berlaku juga merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Catatan: Jika  sisi miring,  tidak harus merupakan sisi miring.

Suatu barisan bilangan asli a1,a2,a3, ... memenuhi ak+al=am+an untuk setiap bilangan asli k,l,m,n dengan kl=mn. JIka m membagi n, buktikan bahwa 

Diberikas segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam BAC. Misalkan titik M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga MDA=ABC dan NDA=ACB. Jika P merupakan titik potong dari garis AD dan garis MN, buktikan bahwa

Misalkan k,m,n merupakan bilangan asli dengan . Buktikan bahwa

.

Suatu bilangan asli disebut cantik jika dapat dinyatakan dalam bentuk

 untuk suatu bilangan asli x dan y yang berbeda,

(a) Tunjukkan bahwa 2014 dapat dituliskan sebagai perkalian bilangan cantik dan bilangan tidak cantik.

(b) Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan tidak cantik tetap tidak cantik